初項 $a_1 = 1$ で、漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3$ ($n=1, 2, 3, ...$) で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

初項 $a_1 = 1$ で、漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3$ ($n=1, 2, 3, ...$) で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式は、$a_{n+1} = 2a_n + 3$ である。この漸化式を解くために、特性方程式を利用する。特性方程式を $x = 2x + 3$ とおく。この方程式を解くと、

$x - 2x = 3$

$-x = 3$

$x = -3$

したがって、与えられた漸化式は次のように変形できる。

$a_{n+1} - (-3) = 2(a_n - (-3))$

$a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3)$

ここで、$b_n = a_n + 3$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ となる。これは公比が2の等比数列である。

初項は $b_1 = a_1 + 3 = 1 + 3 = 4$ となる。

したがって、$b_n = b_1 \cdot 2^{n-1} = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^2 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$

$b_n = a_n + 3$ であったから、$a_n = b_n - 3 = 2^{n+1} - 3$

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n+1} - 3$