$a$ は正の無理数で、$X=a^3+3a^2-14a+6$、$Y=a^2-2a$ とする。$X$ と $Y$ はともに有理数である。以下の問いに答えよ。 (1) 整式 $x^3+3x^2-14x+6$ を整式 $x^2-2x$ で割ったときの商と余りを求めよ。 (2) $X$ と $Y$ の値を求めよ。 (3) $a$ の値を求めよ。ただし、素数の平方根は無理数であることを用いてよい。

1. 問題の内容

$a$ は正の無理数で、$X=a^3+3a^2-14a+6$、$Y=a^2-2a$ とする。$X$ と $Y$ はともに有理数である。以下の問いに答えよ。

(1) 整式 $x^3+3x^2-14x+6$ を整式 $x^2-2x$ で割ったときの商と余りを求めよ。

(2) $X$ と $Y$ の値を求めよ。

(3) $a$ の値を求めよ。ただし、素数の平方根は無理数であることを用いてよい。

2. 解き方の手順

(1) 整式の割り算を行う。

$x^3+3x^2-14x+6 = (x^2-2x)(x+5) - 4x + 6$

よって、商は $x+5$、余りは $-4x+6$ である。

(2) $X = a^3+3a^2-14a+6$ を、$Y = a^2-2a$ を用いて表すことを考える。(1) の結果を利用する。

(1) の結果より、$a^3+3a^2-14a+6 = (a^2-2a)(a+5) - 4a + 6$

したがって、$X = Y(a+5) -4a + 6$ となる。

$X$ と $Y$ は有理数なので、$X = Y(a+5) -4a + 6$ において、$a$ の項が消える必要がある。そのため、$Y = 4$ でなければならない。

$Y = a^2 - 2a = 4$ を解くと、$a^2 - 2a - 4 = 0$

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4+16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

$a$ は正の無理数なので、$a = 1 + \sqrt{5}$

このとき、$X = 4(1+\sqrt{5}+5) - 4(1+\sqrt{5})+6 = 4(6+\sqrt{5})-4-4\sqrt{5}+6 = 24+4\sqrt{5}-4-4\sqrt{5}+6 = 26$

よって、$X = 26$, $Y = 4$

(3) (2) より、$a = 1+\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) 商: $x+5$, 余り: $-4x+6$

(2) $X=26$, $Y=4$

(3) $a=1+\sqrt{5}$