次の式を計算する問題です。 $\frac{x+2}{x} - \frac{x+3}{x+1} - \frac{x-5}{x-3} + \frac{x-6}{x-4}$

1. 問題の内容

次の式を計算する問題です。

$\frac{x+2}{x} - \frac{x+3}{x+1} - \frac{x-5}{x-3} + \frac{x-6}{x-4}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数式を以下のように変形します。

$\frac{x+2}{x} = 1 + \frac{2}{x}$

$\frac{x+3}{x+1} = 1 + \frac{2}{x+1}$

$\frac{x-5}{x-3} = 1 - \frac{2}{x-3}$

$\frac{x-6}{x-4} = 1 - \frac{2}{x-4}$

与式に代入すると、

$(1 + \frac{2}{x}) - (1 + \frac{2}{x+1}) - (1 - \frac{2}{x-3}) + (1 - \frac{2}{x-4})$

$= 1 + \frac{2}{x} - 1 - \frac{2}{x+1} - 1 + \frac{2}{x-3} + 1 - \frac{2}{x-4}$

$= \frac{2}{x} - \frac{2}{x+1} + \frac{2}{x-3} - \frac{2}{x-4}$

$= 2(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4})$

$= 2(\frac{x+1-x}{x(x+1)} + \frac{x-4-(x-3)}{(x-3)(x-4)})$

$= 2(\frac{1}{x(x+1)} + \frac{-1}{(x-3)(x-4)})$

$= 2(\frac{1}{x^2+x} - \frac{1}{x^2-7x+12})$

$= 2(\frac{x^2-7x+12-(x^2+x)}{(x^2+x)(x^2-7x+12)})$

$= 2(\frac{x^2-7x+12-x^2-x}{(x^2+x)(x^2-7x+12)})$

$= 2(\frac{-8x+12}{(x^2+x)(x^2-7x+12)})$

$= \frac{2(-8x+12)}{x^4 - 7x^3 + 12x^2 + x^3 - 7x^2 + 12x}$

$= \frac{-16x+24}{x^4 - 6x^3 + 5x^2 + 12x}$

$= \frac{-16x+24}{x(x^3 - 6x^2 + 5x + 12)}$

3. 最終的な答え

$\frac{-16x+24}{x^4-6x^3+5x^2+12x}$

または

$\frac{-16x+24}{x(x^3-6x^2+5x+12)}$

あるいは

$\frac{8(3-2x)}{x(x^3-6x^2+5x+12)}$