2つの不等式 $x^2 + y^2 - 2y < 4$ と $2x - y - 3 < 0$ を同時に満たす整数 $x, y$ の組 $(x, y)$ は全部で何個あるか。

1. 問題の内容

2つの不等式 $x^2 + y^2 - 2y < 4$ と $2x - y - 3 < 0$ を同時に満たす整数 $x, y$ の組 $(x, y)$ は全部で何個あるか。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $x^2 + y^2 - 2y < 4$ を変形します。

$x^2 + (y^2 - 2y + 1) < 4 + 1$

$x^2 + (y - 1)^2 < 5$

これは中心が $(0, 1)$、半径が $\sqrt{5}$ の円の内部を表します。

次に、不等式 $2x - y - 3 < 0$ を変形します。

$y > 2x - 3$

これは直線 $y = 2x - 3$ の上側を表します。

これらの2つの不等式を同時に満たす整数 $(x, y)$ を求めます。

$x^2 + (y - 1)^2 < 5$ より、$x$ が取りうる整数値は $-2, -1, 0, 1, 2$ です。

$x$ の値ごとに、$y$ の取りうる整数値を考えます。

- $x = -2$ のとき:

$4 + (y - 1)^2 < 5$

$(y - 1)^2 < 1$

$-1 < y - 1 < 1$

$0 < y < 2$

$y$ は整数なので、$y = 1$。

また、$y > 2x - 3 = 2(-2) - 3 = -7$ を満たすので、$y = 1$ は条件を満たします。

よって、$(x, y) = (-2, 1)$ が解の一つです。

- $x = -1$ のとき:

$1 + (y - 1)^2 < 5$

$(y - 1)^2 < 4$

$-2 < y - 1 < 2$

$-1 < y < 3$

$y$ は整数なので、$y = 0, 1, 2$。

$y > 2x - 3 = 2(-1) - 3 = -5$ を満たすので、$y = 0, 1, 2$ は条件を満たします。

よって、$(x, y) = (-1, 0), (-1, 1), (-1, 2)$ が解です。

- $x = 0$ のとき:

$0 + (y - 1)^2 < 5$

$(y - 1)^2 < 5$

$-\sqrt{5} < y - 1 < \sqrt{5}$

$-2.23... < y - 1 < 2.23...$

$-1.23... < y < 3.23...$

$y$ は整数なので、$y = -1, 0, 1, 2, 3$。

$y > 2x - 3 = 2(0) - 3 = -3$ を満たすので、$y = -2, -1, 0, 1, 2, 3$のうち、$y = -2, -1$は条件を満たさない。

従って、$y = -1, 0, 1, 2, 3$のうち、$y > -3$ より、$y = -2$は除かれる。

ただし、-2は不等式を満たさないから-2を取り除くのは妥当。

$y=-1, 0, 1, 2, 3$で考える。

$y > 2x - 3 = -3$より、-2より大きい必要がある。

従って、$y = -2$を除く

$y = 0, 1, 2, 3$が条件を満たす。

よって、$(x, y) = (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3)$ が解です。

- $x = 1$ のとき:

$1 + (y - 1)^2 < 5$

$(y - 1)^2 < 4$

$-2 < y - 1 < 2$

$-1 < y < 3$

$y$ は整数なので、$y = 0, 1, 2$。

$y > 2x - 3 = 2(1) - 3 = -1$ を満たすので、$y = 0, 1, 2$のうち、$y=0$は条件を満たさない。

$y > -1$なので $y = 0, 1, 2$ のうち、$0$は除かれる。

従って、$y = 1, 2$ が条件を満たす。

よって、$(x, y) = (1, 0), (1, 1), (1, 2)$のう、$0$は除かれる.

$y>2x-3=-1$より、$y=0$を除き、$y=1, 2$となる

従って,$(x, y) = (1, 1), (1, 2)$が解です。

- $x = 2$ のとき:

$4 + (y - 1)^2 < 5$

$(y - 1)^2 < 1$

$-1 < y - 1 < 1$

$0 < y < 2$

$y$ は整数なので、$y = 1$。

$y > 2x - 3 = 2(2) - 3 = 1$ を満たすので、$y > 1$が必要.

従って,$y=1$は条件を満たさない。

よって、解はありません。

したがって、解は $(-2, 1), (-1, 0), (-1, 1), (-1, 2), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2)$ の10個です。

3. 最終的な答え

10個