問題は、ある数列において、初めて400を超えるのは第何項か、を問うています。ただし、数列の具体的な定義が与えられていません。元の問題全体を見ないと解けません。数列の一般項を $a_n$ とすると、$a_n > 400$ となる最小の $n$ を求める問題です。ここでは、数列の一般項が $a_n=2n^2+3n$ であると仮定して解きます。

1. 問題の内容

問題は、ある数列において、初めて400を超えるのは第何項か、を問うています。ただし、数列の具体的な定義が与えられていません。元の問題全体を見ないと解けません。数列の一般項を $a_n$ とすると、$a_n > 400$ となる最小の $n$ を求める問題です。ここでは、数列の一般項が $a_n=2n^2+3n$ であると仮定して解きます。

2. 解き方の手順

$a_n > 400$ となる $n$ を求めるために、不等式 $2n^2 + 3n > 400$ を解きます。

$2n^2 + 3n > 400$

$2n^2 + 3n - 400 > 0$

この2次不等式を解くために、まず2次方程式 $2n^2 + 3n - 400 = 0$ を解きます。解の公式を用いると、

$n = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-400)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 3200}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{3209}}{4}$

$\sqrt{3209} \approx 56.6$ なので、

$n \approx \frac{-3 \pm 56.6}{4}$

$n_1 \approx \frac{-3 - 56.6}{4} \approx -14.9$

$n_2 \approx \frac{-3 + 56.6}{4} \approx \frac{53.6}{4} \approx 13.4$

$n$ は自然数である必要があるので、$n > 13.4$ となる最小の整数は $n = 14$ です。

$n=13$のとき、$2(13)^2 + 3(13) = 2(169) + 39 = 338 + 39 = 377 < 400$

$n=14$のとき、$2(14)^2 + 3(14) = 2(196) + 42 = 392 + 42 = 434 > 400$

したがって、$a_n > 400$ を満たす最小の $n$ は 14 です。

3. 最終的な答え

14項