次の2つの2次方程式を解く問題です。ただし、$a, b, p$は定数で、$a \ne 0, p \ne 0$とします。 (1) $a^2x^2 - a^2x + ab - b^2 = 0$ (2) $px^2 - p^2x = 2(x - p)$

1. 問題の内容

次の2つの2次方程式を解く問題です。ただし、$a, b, p$は定数で、$a \ne 0, p \ne 0$とします。

(1) $a^2x^2 - a^2x + ab - b^2 = 0$

(2) $px^2 - p^2x = 2(x - p)$

2. 解き方の手順

(1) $a^2x^2 - a^2x + ab - b^2 = 0$

まず、与えられた2次方程式を因数分解することを考えます。

$a^2x^2 - a^2x + ab - b^2 = 0$

$a^2x^2 - a^2x + (ab - b^2) = 0$

$a^2x^2 - a^2x + b(a - b) = 0$

これは因数分解が難しいので、解の公式を利用します。

解の公式より、

$x = \frac{-(-a^2) \pm \sqrt{(-a^2)^2 - 4(a^2)(ab - b^2)}}{2a^2}$

$x = \frac{a^2 \pm \sqrt{a^4 - 4a^3b + 4a^2b^2}}{2a^2}$

$x = \frac{a^2 \pm \sqrt{a^2(a^2 - 4ab + 4b^2)}}{2a^2}$

$x = \frac{a^2 \pm \sqrt{a^2(a - 2b)^2}}{2a^2}$

$x = \frac{a^2 \pm a(a - 2b)}{2a^2}$

$x = \frac{a^2 \pm (a^2 - 2ab)}{2a^2}$

$x = \frac{a^2 + a^2 - 2ab}{2a^2} = \frac{2a^2 - 2ab}{2a^2} = \frac{2a(a - b)}{2a^2} = \frac{a - b}{a}$

または

$x = \frac{a^2 - a^2 + 2ab}{2a^2} = \frac{2ab}{2a^2} = \frac{b}{a}$

(2) $px^2 - p^2x = 2(x - p)$

$px^2 - p^2x = 2x - 2p$

$px^2 - p^2x - 2x + 2p = 0$

$px^2 - (p^2 + 2)x + 2p = 0$

解の公式を利用します。

$x = \frac{-(-(p^2 + 2)) \pm \sqrt{(-(p^2 + 2))^2 - 4(p)(2p)}}{2p}$

$x = \frac{p^2 + 2 \pm \sqrt{(p^4 + 4p^2 + 4) - 8p^2}}{2p}$

$x = \frac{p^2 + 2 \pm \sqrt{p^4 - 4p^2 + 4}}{2p}$

$x = \frac{p^2 + 2 \pm \sqrt{(p^2 - 2)^2}}{2p}$

$x = \frac{p^2 + 2 \pm (p^2 - 2)}{2p}$

$x = \frac{p^2 + 2 + p^2 - 2}{2p} = \frac{2p^2}{2p} = p$

または

$x = \frac{p^2 + 2 - p^2 + 2}{2p} = \frac{4}{2p} = \frac{2}{p}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{a-b}{a}, \frac{b}{a}$

(2) $x = p, \frac{2}{p}$