線形写像 $T: U \to V$ が与えられているとき、以下の2つを示す問題です。 (1) $Im(T)$ が $V$ の部分空間であること。 (2) $Ker(T)$ が $U$ の部分空間であること。

1. 問題の内容

線形写像 $T: U \to V$ が与えられているとき、以下の2つを示す問題です。

(1) $Im(T)$ が $V$ の部分空間であること。

(2) $Ker(T)$ が $U$ の部分空間であること。

2. 解き方の手順

(1) $Im(T)$ が $V$ の部分空間であることを示す。

$Im(T) = \{v \in V \mid \exists u \in U, T(u) = v\}$ です。部分空間であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

(i) $Im(T)$ が空でないこと。

(ii) $v_1, v_2 \in Im(T)$ ならば $v_1 + v_2 \in Im(T)$ であること。

(iii) $v \in Im(T)$ かつ $c$ がスカラーならば $cv \in Im(T)$ であること。

(i) $U$ の零ベクトルを $0_U$ とすると、$T(0_U) = 0_V$ なので、$0_V \in Im(T)$。したがって、$Im(T)$ は空ではありません。

(ii) $v_1, v_2 \in Im(T)$ とすると、ある $u_1, u_2 \in U$ が存在して $T(u_1) = v_1$ かつ $T(u_2) = v_2$ となります。このとき、$v_1 + v_2 = T(u_1) + T(u_2) = T(u_1 + u_2)$ となります。$u_1 + u_2 \in U$ なので、$v_1 + v_2 \in Im(T)$ です。

(iii) $v \in Im(T)$ とすると、ある $u \in U$ が存在して $T(u) = v$ となります。このとき、$cv = cT(u) = T(cu)$ となります。$cu \in U$ なので、$cv \in Im(T)$ です。

したがって、$Im(T)$ は $V$ の部分空間です。

(2) $Ker(T)$ が $U$ の部分空間であることを示す。

$Ker(T) = \{u \in U \mid T(u) = 0_V\}$ です。部分空間であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

(i) $Ker(T)$ が空でないこと。

(ii) $u_1, u_2 \in Ker(T)$ ならば $u_1 + u_2 \in Ker(T)$ であること。

(iii) $u \in Ker(T)$ かつ $c$ がスカラーならば $cu \in Ker(T)$ であること。

(i) $T(0_U) = 0_V$ なので、$0_U \in Ker(T)$。したがって、$Ker(T)$ は空ではありません。

(ii) $u_1, u_2 \in Ker(T)$ とすると、$T(u_1) = 0_V$ かつ $T(u_2) = 0_V$ となります。このとき、$T(u_1 + u_2) = T(u_1) + T(u_2) = 0_V + 0_V = 0_V$ となるので、$u_1 + u_2 \in Ker(T)$ です。

(iii) $u \in Ker(T)$ とすると、$T(u) = 0_V$ となります。このとき、$T(cu) = cT(u) = c0_V = 0_V$ となるので、$cu \in Ker(T)$ です。

したがって、$Ker(T)$ は $U$ の部分空間です。

3. 最終的な答え

(1) $Im(T)$ は $V$ の部分空間である。

(2) $Ker(T)$ は $U$ の部分空間である。