与えられた行列 $\begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$ の固有値を $a, b$ （ただし、$a > b$）とし、固有値 $a$ に対応する固有ベクトルを $\begin{pmatrix} c \\ 1 \end{pmatrix}$、固有値 $b$ に対応する固有ベクトルを $\begin{pmatrix} d \\ 1 \end{pmatrix}$ とするとき、$a, b, c, d$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた行列

$\begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$

の固有値を $a, b$ （ただし、$a > b$）とし、固有値 $a$ に対応する固有ベクトルを $\begin{pmatrix} c \\ 1 \end{pmatrix}$、固有値 $b$ に対応する固有ベクトルを $\begin{pmatrix} d \\ 1 \end{pmatrix}$ とするとき、$a, b, c, d$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める。行列 $A = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$ の固有値は、特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を満たす $\lambda$ である。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 7-\lambda & 1 \\ 1 & 7-\lambda \end{pmatrix}$ なので、

$\det(A - \lambda I) = (7-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 14\lambda + 48 = (\lambda - 6)(\lambda - 8) = 0$

したがって、固有値は $\lambda = 6, 8$ である。$a > b$ より、$a = 8$, $b = 6$。

(2) 固有ベクトルを求める。固有値 $a = 8$ に対応する固有ベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ は、$(A - 8I)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を満たす。

$A - 8I = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ なので、$-x + y = 0$ より、$x = y$。

固有ベクトルは $\begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ と表せる。

与えられた固有ベクトルの形は $\begin{pmatrix} c \\ 1 \end{pmatrix}$ なので、$x=1$ として $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ とすると、$c = 1$。

次に、固有値 $b = 6$ に対応する固有ベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ は、$(A - 6I)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を満たす。

$A - 6I = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ なので、$x + y = 0$ より、$y = -x$。

固有ベクトルは $\begin{pmatrix} x \\ -x \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ と表せる。

与えられた固有ベクトルの形は $\begin{pmatrix} d \\ 1 \end{pmatrix}$ なので、$x = -1$ として $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ とすると、$d = -1$。

3. 最終的な答え

$a = 8$

$b = 6$

$c = 1$

$d = -1$