数列 $\{a_n\}$: 3, 5, 9, 17, 33, ... が与えられている。 (1) 階差数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。$b_n = \boxed{ア}^n$ (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。$a_n = \boxed{ア}^n + \boxed{イ}$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$: 3, 5, 9, 17, 33, ... が与えられている。

(1) 階差数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。$b_n = \boxed{ア}^n$

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。$a_n = \boxed{ア}^n + \boxed{イ}$

2. 解き方の手順

(1) 階差数列 $\{b_n\}$ を求める。

$b_1 = a_2 - a_1 = 5 - 3 = 2$

$b_2 = a_3 - a_2 = 9 - 5 = 4$

$b_3 = a_4 - a_3 = 17 - 9 = 8$

$b_4 = a_5 - a_4 = 33 - 17 = 16$

したがって、階差数列 $\{b_n\}$ は 2, 4, 8, 16, ... となり、これは初項2、公比2の等比数列である。

よって、$\{b_n\}$ の一般項は $b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$

等比数列の和の公式より、$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2^n - 2$

よって、$a_n = 3 + 2^n - 2 = 2^n + 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^1 + 1 = 3$ となり、これは与えられた数列の初項と一致する。

したがって、$a_n = 2^n + 1$

3. 最終的な答え

(1) $b_n = 2^n$

ア: 2

(2) $a_n = 2^n + 1$

ア: 2

イ: 1