放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を、(1) $y$ 軸方向、(2) $x$ 軸方向に平行移動して原点を通るようにした放物線の方程式をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を、(1) $y$ 軸方向、(2) $x$ 軸方向に平行移動して原点を通るようにした放物線の方程式をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) $y$軸方向への平行移動の場合：

$y$軸方向に $p$ だけ平行移動すると、方程式は $y - p = x^2 - 4x + 3$ となる。

これを整理すると、$y = x^2 - 4x + 3 + p$ となる。

この放物線が原点 $(0, 0)$ を通るためには、

$0 = 0^2 - 4(0) + 3 + p$ が成り立つ必要がある。

したがって、$0 = 3 + p$ より、$p = -3$ となる。

よって、$y = x^2 - 4x + 3 - 3$ となり、$y = x^2 - 4x$ となる。

(2) $x$軸方向への平行移動の場合：

$x$軸方向に $q$ だけ平行移動すると、方程式は $y = (x - q)^2 - 4(x - q) + 3$ となる。

この放物線が原点 $(0, 0)$ を通るためには、

$0 = (0 - q)^2 - 4(0 - q) + 3$ が成り立つ必要がある。

したがって、$0 = q^2 + 4q + 3$ となる。

この2次方程式を解くと、$(q + 1)(q + 3) = 0$ より、$q = -1, -3$ となる。

$q = -1$ のとき、$y = (x + 1)^2 - 4(x + 1) + 3 = x^2 + 2x + 1 - 4x - 4 + 3 = x^2 - 2x$ となる。

$q = -3$ のとき、$y = (x + 3)^2 - 4(x + 3) + 3 = x^2 + 6x + 9 - 4x - 12 + 3 = x^2 + 2x$ となる。

したがって、求める放物線は $y = x^2 - 2x$ と $y = x^2 + 2x$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y$軸方向への平行移動の場合：$y = x^2 - 4x$

(2) $x$軸方向への平行移動の場合：$y = x^2 - 2x$, $y = x^2 + 2x$