与えられた式 $\sqrt{x^2 - 8x + 16}$ と $\sqrt{x^2 + 2x + 1}$ を簡単にし、絶対値を用いて表す。次に、$-1 < x < 4$ の条件のもとで、$\sqrt{x^2 - 8x + 16} + \sqrt{x^2 + 2x + 1}$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{x^2 - 8x + 16}$ と $\sqrt{x^2 + 2x + 1}$ を簡単にし、絶対値を用いて表す。次に、$-1 < x < 4$ の条件のもとで、$\sqrt{x^2 - 8x + 16} + \sqrt{x^2 + 2x + 1}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2 - 8x + 16}$ と $\sqrt{x^2 + 2x + 1}$ をそれぞれ因数分解し、絶対値の形に変形する。

$\sqrt{x^2 - 8x + 16} = \sqrt{(x-4)^2} = |x-4|$

$\sqrt{x^2 + 2x + 1} = \sqrt{(x+1)^2} = |x+1|$

次に、$-1 < x < 4$ の範囲で、$|x-4|$ と $|x+1|$ の符号を考える。

$-1 < x < 4$ より、$x - 4 < 0$ であるから、$|x-4| = -(x-4) = 4-x$。

$-1 < x < 4$ より、$x + 1 > 0$ であるから、$|x+1| = x+1$。

したがって、

$\sqrt{x^2 - 8x + 16} + \sqrt{x^2 + 2x + 1} = |x-4| + |x+1| = (4-x) + (x+1) = 4 - x + x + 1 = 5$

3. 最終的な答え

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