与えられた数式の値を計算する問題です。数式は以下の通りです。 $1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 - \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算する問題です。数式は以下の通りです。

$1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 - \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

2. 解き方の手順

まず、各シグマの公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} 1 = n-1$

これらの公式を元の式に代入します。

$1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - \frac{(n-1)n}{2} - (n-1)$

次に、式を整理します。

$1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - \frac{3(n-1)n}{6} - \frac{6(n-1)}{6}$

$= 1 + \frac{(n-1)n(2n-1) - 3(n-1)n - 6(n-1)}{6}$

$= 1 + \frac{(n-1)[n(2n-1) - 3n - 6]}{6}$

$= 1 + \frac{(n-1)(2n^2 - n - 3n - 6)}{6}$

$= 1 + \frac{(n-1)(2n^2 - 4n - 6)}{6}$

$= 1 + \frac{2(n-1)(n^2 - 2n - 3)}{6}$

$= 1 + \frac{(n-1)(n^2 - 2n - 3)}{3}$

$= 1 + \frac{(n-1)(n-3)(n+1)}{3}$

$= \frac{3 + (n-1)(n-3)(n+1)}{3}$

$= \frac{3 + (n-1)(n^2 - 2n - 3)}{3}$

$= \frac{3 + n^3 - 2n^2 - 3n - n^2 + 2n + 3}{3}$

$= \frac{n^3 - 3n^2 - n + 6}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n^3 - 3n^2 - n + 6}{3}$