与えられた数学の問題を解く。問題は、(1)乗法公式の利用による計算、(2)乗法公式を利用した分母の有理化、(3)式の値の計算、の3つのパートに分かれています。ここでは、３の(1)の問題を解きます。$x = \sqrt{6} - 3$ のとき、$x^2 - 2x - 15$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解く。問題は、(1)乗法公式の利用による計算、(2)乗法公式を利用した分母の有理化、(3)式の値の計算、の3つのパートに分かれています。ここでは、３の(1)の問題を解きます。$x = \sqrt{6} - 3$ のとき、$x^2 - 2x - 15$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$x^2 - 2x - 15$に$x = \sqrt{6} - 3$を代入します。

$x^2 - 2x - 15 = (\sqrt{6} - 3)^2 - 2(\sqrt{6} - 3) - 15$

$(\sqrt{6} - 3)^2$を展開します。

$(\sqrt{6} - 3)^2 = (\sqrt{6})^2 - 2(\sqrt{6})(3) + 3^2 = 6 - 6\sqrt{6} + 9 = 15 - 6\sqrt{6}$

$-2(\sqrt{6} - 3)$ を展開します。

$-2(\sqrt{6} - 3) = -2\sqrt{6} + 6$

式に代入し、整理します。

$x^2 - 2x - 15 = (15 - 6\sqrt{6}) + (-2\sqrt{6} + 6) - 15 = 15 - 6\sqrt{6} - 2\sqrt{6} + 6 - 15 = 6 - 8\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$6 - 8\sqrt{6}$