2次関数 $y = x^2 - 2ax$ ($0 \leq x \leq 2$) の最大値と最小値を、次の5つの場合についてそれぞれ求めよ。 (1) $0 < a < 1$ (2) $a = 1$ (3) $1 < a < 2$ (4) $a = 2$ (5) $a > 2$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax$ ($0 \leq x \leq 2$) の最大値と最小値を、次の5つの場合についてそれぞれ求めよ。

(1) $0 < a < 1$

(2) $a = 1$

(3) $1 < a < 2$

(4) $a = 2$

(5) $a > 2$

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax = (x - a)^2 - a^2$

このグラフは、軸が $x = a$ の下に凸な放物線です。定義域 $0 \leq x \leq 2$ における最大値と最小値は、$a$ の値によって変わります。

(1) $0 < a < 1$ のとき

軸 $x=a$ が定義域の中にあるので、$x = a$ で最小値 $-a^2$ をとります。

最大値は、$f(0)$ と $f(2)$ のどちらか大きい方です。

$f(0) = 0$

$f(2) = 4 - 4a = 4(1-a)$

$0 < a < 1$ なので $4(1-a) > 0$。よって、最大値は $f(2) = 4 - 4a$

(2) $a = 1$ のとき

軸 $x=1$ が定義域の中にあるので、$x = 1$ で最小値 $-1$ をとります。

最大値は、$f(0)$ と $f(2)$ のどちらか大きい方です。

$f(0) = 0$

$f(2) = 4 - 4(1) = 0$

よって、最大値は $0$

(3) $1 < a < 2$ のとき

軸 $x=a$ が定義域の中にあるので、$x = a$ で最小値 $-a^2$ をとります。

最大値は、$f(0)$ と $f(2)$ のどちらか大きい方です。

$f(0) = 0$

$f(2) = 4 - 4a$

$1 < a < 2$ なので、$4 - 4a < 0$。よって、最大値は $f(0) = 0$

(4) $a = 2$ のとき

軸 $x=2$ が定義域の右端にあるので、$x = 2$ で最小値 $-4$ をとります。

最大値は $x = 0$ のときの $f(0) = 0$

(5) $a > 2$ のとき

軸 $x=a$ が定義域の外にあるので、$x = 0$ で最大値 $0$ をとります。

最小値は $x = 2$ のときの $f(2) = 4 - 4a$

3. 最終的な答え

(1) $0 < a < 1$ のとき：

最大値 $4-4a$、最小値 $-a^2$

(2) $a = 1$ のとき：

最大値 $0$、最小値 $-1$

(3) $1 < a < 2$ のとき：

最大値 $0$、最小値 $-a^2$

(4) $a = 2$ のとき：

最大値 $0$、最小値 $-4$

(5) $a > 2$ のとき：

最大値 $0$、最小値 $4-4a$