与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解き、解を列ベクトルで表す。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解き、解を列ベクトルで表す。

2. 解き方の手順

(1) の連立一次方程式

$x + 2y + 3z = 3$

$x + 3y + 4z = 4$

$2x + 4y + 7z = 6$

拡大係数行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 7 & 6 \end{pmatrix}$

1行目を基準に、2行目から1行目を引きます。

また、3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

3行目を基準に、2行目から3行目を引きます。

また、1行目から3行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

2行目を基準に、1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

よって、$x = 1, y = 1, z = 0$。

(2) の連立一次方程式

$x - z = 1$

$2x + y = 3$

$3x + 2y + z = 5$

拡大係数行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

1行目を基準に、2行目から1行目の2倍を引きます。

また、3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

2行目を基準に、3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$x - z = 1$

$y + 2z = 1$

$z = k$ とすると、$x = k + 1, y = -2k + 1$。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k+1 \\ -2k+1 \\ k \end{pmatrix}$ (kは任意の実数)