2次関数 $y = x^2 - 2x - m - 1$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数が、定数 $m$ の値によってどのように変わるかを調べる問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x - m - 1$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数が、定数 $m$ の値によってどのように変わるかを調べる問題です。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ によって決まります。

- $D > 0$ のとき、共有点は2個。

- $D = 0$ のとき、共有点は1個。

- $D < 0$ のとき、共有点は0個。

与えられた2次関数 $y = x^2 - 2x - m - 1$ について、判別式 $D$ を計算します。

$a = 1$, $b = -2$, $c = -m - 1$ であるから、

$D = (-2)^2 - 4(1)(-m - 1) = 4 + 4m + 4 = 4m + 8$

次に、$D$ の符号によって共有点の個数がどのように変わるかを調べます。

- $D > 0$ のとき、$4m + 8 > 0$ より $m > -2$。このとき共有点は2個。

- $D = 0$ のとき、$4m + 8 = 0$ より $m = -2$。このとき共有点は1個。

- $D < 0$ のとき、$4m + 8 < 0$ より $m < -2$。このとき共有点は0個。

3. 最終的な答え

- $m > -2$ のとき、共有点は2個。

- $m = -2$ のとき、共有点は1個。

- $m < -2$ のとき、共有点は0個。