$x = 2a - az$

## 問題の回答

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1. 問題の内容

画像には3つの連立方程式の問題が含まれています。(3), (4), (5) です。このうち、問題(5) を解きます。

問題(5)は、$x, y, z$ と定数 $a$ を含む以下の連立方程式です。

\begin{cases}

x + az = 2a \\

y - 2z = -1 \\

x + y - z = a^2

\end{cases}

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2. 解き方の手順

1. 1つ目の式から $x$ を求めます。

$x = 2a - az$

2. 2つ目の式から $y$ を求めます。

$y = 2z - 1$

3. $x$ と $y$ を3つ目の式に代入します。

$(2a - az) + (2z - 1) - z = a^2$

4. $z$ について整理します。

$2a - az + 2z - 1 - z = a^2$

$2a - 1 + z - az = a^2$

$z(1 - a) = a^2 - 2a + 1$

$z(1 - a) = (a - 1)^2$

$z(1 - a) = (-(1-a))^2$

$z(1 - a) = (1-a)^2$

5. $a \neq 1$ のとき、$z$ を求めます。

$z = \frac{(1 - a)^2}{1 - a}$

$z = 1 - a$

6. $x$ と $y$ を求めます。

$x = 2a - a(1 - a)$

$x = 2a - a + a^2$

$x = a^2 + a$

$y = 2(1 - a) - 1$

$y = 2 - 2a - 1$

$y = 1 - 2a$

7. $a = 1$ のとき、 $z(1 - a) = (a - 1)^2$ は $0 = 0$ となり、不定解となります。

このとき、元の連立方程式は次のようになります。

\begin{cases}

x + z = 2 \\

y - 2z = -1 \\

x + y - z = 1

\end{cases}

1つ目の式から $x = 2 - z$、2つ目の式から $y = 2z - 1$。これらを3つ目の式に代入すると、

$(2 - z) + (2z - 1) - z = 1$

$1 + z - z = 1$

$1 = 1$

となり、これは常に成立します。したがって、$z = k$ （任意の実数）とおくと、

$x = 2 - k$

$y = 2k - 1$

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3. 最終的な答え

$a \neq 1$ のとき、

$x = a^2 + a$

$y = 1 - 2a$

$z = 1 - a$

$a = 1$ のとき、

$x = 2 - k$

$y = 2k - 1$

$z = k$ (kは任意の実数)