等比数列 $\{a_n\}$ があり、$a_1 + a_2 = 4$、$a_3 + a_4 = 36$ である。このとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

等比数列 $\{a_n\}$ があり、$a_1 + a_2 = 4$、$a_3 + a_4 = 36$ である。このとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とすると、$a_n = a r^{n-1}$ と表せる。

与えられた条件より、

$a_1 + a_2 = a + ar = a(1+r) = 4$ ...(1)

$a_3 + a_4 = ar^2 + ar^3 = ar^2(1+r) = 36$ ...(2)

(2)式を(1)式で割ると、

$\frac{ar^2(1+r)}{a(1+r)} = \frac{36}{4}$

$r^2 = 9$

したがって、$r = \pm 3$ となる。

(i) $r = 3$ のとき、(1)式より

$a(1+3) = 4$

$4a = 4$

$a = 1$

よって、一般項は $a_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$

(ii) $r = -3$ のとき、(1)式より

$a(1-3) = 4$

$-2a = 4$

$a = -2$

よって、一般項は $a_n = -2 \cdot (-3)^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = 3^{n-1}$ または $a_n = -2 \cdot (-3)^{n-1}$