連立方程式を解きます。ただし、定数 $a$ を含みます。 $$ \begin{cases} x + az = 2a \\ y - 2z = -1 \\ x + y - z = a^2 \end{cases} $$

了解しました。画像にある連立方程式の問題を解きます。まずは問題(5)から解いていきます。

1. 問題の内容

連立方程式を解きます。ただし、定数 $a$ を含みます。

$$$$

\begin{cases}

x + az = 2a \\

y - 2z = -1 \\

x + y - z = a^2

\end{cases}

$$$$

2. 解き方の手順

まず、2番目の式から $y$ を求めます。

$y = 2z - 1$

この $y$ を3番目の式に代入します。

$x + (2z - 1) - z = a^2$

$x + z - 1 = a^2$

$x = a^2 - z + 1$

次に、この $x$ を1番目の式に代入します。

$(a^2 - z + 1) + az = 2a$

$a^2 - z + 1 + az = 2a$

$az - z = 2a - a^2 - 1$

$z(a - 1) = -a^2 + 2a - 1$

$z(a - 1) = -(a - 1)^2$

ここで場合分けをします。

(i) $a \neq 1$ の場合：

$z = \frac{-(a-1)^2}{a-1} = -(a-1) = 1-a$

次に、$x$ と $y$ を求めます。

$x = a^2 - (1-a) + 1 = a^2 + a$

$y = 2(1-a) - 1 = 2 - 2a - 1 = 1 - 2a$

(ii) $a = 1$ の場合：

$z(1 - 1) = -(1 - 1)^2$

$0 = 0$

この場合、$z$ は任意の値をとることができます。

$x + z = 2$ なので、$x = 2 - z$

$y - 2z = -1$ なので、$y = 2z - 1$

$x + y - z = 1$を満たしているか確認します。

$(2-z) + (2z-1) - z = 1$

$2 - z + 2z - 1 - z = 1$

$1 = 1$

したがって、a = 1 のとき、解は $x = 2-z, y = 2z-1$（$z$は任意）となります。

3. 最終的な答え

(i) $a \neq 1$ の場合：

$x = a^2 + a$

$y = 1 - 2a$

$z = 1 - a$

(ii) $a = 1$ の場合：

$x = 2 - z$

$y = 2z - 1$

$z$は任意の実数