(1) $(2-3i)^3$ を計算する。 (2) $\frac{1-3i}{2+i}$ を計算する。 (3) $\sqrt{-12} - \sqrt{3} + \sqrt{-48}$ を計算する。 (4) 等式 $(1-3i)(x+yi) = 2(x-yi) + 4$ を満たす実数 $x, y$ を求める。 (5) $x^2 = 3-4i$ を満たす複素数 $x$ を求める。

はい、承知しました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $(2-3i)^3$ を計算する。

(2) $\frac{1-3i}{2+i}$ を計算する。

(3) $\sqrt{-12} - \sqrt{3} + \sqrt{-48}$ を計算する。

(4) 等式 $(1-3i)(x+yi) = 2(x-yi) + 4$ を満たす実数 $x, y$ を求める。

(5) $x^2 = 3-4i$ を満たす複素数 $x$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(2-3i)^3$ の計算

二項定理または直接展開で計算します。

$(2-3i)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot (3i) + 3 \cdot 2 \cdot (3i)^2 - (3i)^3$

$= 8 - 36i - 54 + 27i$

$= -46 - 9i$

(2) $\frac{1-3i}{2+i}$ の計算

分母の共役複素数をかけて実数化します。

$\frac{1-3i}{2+i} = \frac{(1-3i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{2 - i - 6i + 3i^2}{4 - i^2}$

$= \frac{2 - 7i - 3}{4 + 1} = \frac{-1 - 7i}{5} = -\frac{1}{5} - \frac{7}{5}i$

(3) $\sqrt{-12} - \sqrt{3} + \sqrt{-48}$ の計算

$\sqrt{-12} = \sqrt{12}i = 2\sqrt{3}i$

$\sqrt{-48} = \sqrt{48}i = 4\sqrt{3}i$

したがって、

$\sqrt{-12} - \sqrt{3} + \sqrt{-48} = 2\sqrt{3}i - \sqrt{3} + 4\sqrt{3}i = -\sqrt{3} + 6\sqrt{3}i$

(4) $(1-3i)(x+yi) = 2(x-yi) + 4$ の計算

左辺を展開し、実部と虚部に分けます。

$x + yi - 3xi - 3yi^2 = x + yi - 3xi + 3y$

右辺も実部と虚部に分けます。

$2x - 2yi + 4$

等式を整理すると、

$x + 3y - 3xi + yi = 2x + 4 - 2yi$

実部と虚部を比較すると、

$x + 3y = 2x + 4$

$y - 3x = -2y$

整理すると、

$x - 3y = -4$

$3x - 3y = 0$

2番目の式から $x=y$。これを1番目の式に代入して、

$x - 3x = -4$

$-2x = -4$

$x = 2$

よって、$y = 2$

(5) $x^2 = 3-4i$ を満たす複素数 $x$ の計算

$x = a + bi$ とおくと、$x^2 = (a+bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = 3-4i$

実部と虚部を比較すると、

$a^2 - b^2 = 3$

$2ab = -4$

$ab = -2$

$b = -\frac{2}{a}$

$a^2 - \frac{4}{a^2} = 3$

$a^4 - 4 = 3a^2$

$a^4 - 3a^2 - 4 = 0$

$(a^2 - 4)(a^2 + 1) = 0$

$a^2 = 4, -1$

$a$ は実数なので、$a^2 = 4$。したがって、$a = 2, -2$

$a = 2$ のとき、$b = -1$

$a = -2$ のとき、$b = 1$

よって、$x = 2 - i, -2 + i$

3. 最終的な答え

(1) $(2-3i)^3 = -46 - 9i$

(2) $\frac{1-3i}{2+i} = -\frac{1}{5} - \frac{7}{5}i$

(3) $\sqrt{-12} - \sqrt{3} + \sqrt{-48} = -\sqrt{3} + 6\sqrt{3}i$

(4) $x = 2, y = 2$

(5) $x = 2 - i, -2 + i$