与えられた二つの不等式 $x^2 + y^2 - 2x - 4 < 0$ $x - 2y - 3 < 0$ を同時に満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二つの不等式

$x^2 + y^2 - 2x - 4 < 0$

$x - 2y - 3 < 0$

を同時に満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式を整理します。

一つ目の不等式は、平方完成を行うことで円の内部を表す不等式に変形できます。

$x^2 - 2x + y^2 - 4 < 0$

$(x^2 - 2x + 1) + y^2 - 4 - 1 < 0$

$(x - 1)^2 + y^2 < 5$

これは、中心が $(1, 0)$ で半径が $\sqrt{5}$ の円の内部を表しています。

二つ目の不等式は、直線の下側を表します。

$x - 2y - 3 < 0$

$x - 3 < 2y$

$y > \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$

これは、直線 $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ より上側の領域を表します。

これらの不等式を同時に満たす整数の組 $(x, y)$ を見つけます。

$(x-1)^2 + y^2 < 5$を満たす整数$(x,y)$は、

$x= -1$のとき、$(-2)^2 + y^2 < 5 \implies y^2 < 1 \implies y=0$

$x= 0$のとき,$(-1)^2 + y^2 < 5 \implies y^2 < 4 \implies y=-1, 0, 1$

$x= 1$のとき,$0^2 + y^2 < 5 \implies y^2 < 5 \implies y=-2, -1, 0, 1, 2$

$x= 2$のとき,$(1)^2 + y^2 < 5 \implies y^2 < 4 \implies y=-1, 0, 1$

$x= 3$のとき,$(2)^2 + y^2 < 5 \implies y^2 < 1 \implies y=0$

これらの候補について、$x - 2y - 3 < 0$を満たすものを探します。

$(x,y) = (-1,0) \implies -1 - 2(0) - 3 = -4 < 0$ (OK)

$(x,y) = (0,-1) \implies 0 - 2(-1) - 3 = -1 < 0$ (OK)

$(x,y) = (0,0) \implies 0 - 2(0) - 3 = -3 < 0$ (OK)

$(x,y) = (0,1) \implies 0 - 2(1) - 3 = -5 < 0$ (OK)

$(x,y) = (1,-2) \implies 1 - 2(-2) - 3 = 2 > 0$ (NG)

$(x,y) = (1,-1) \implies 1 - 2(-1) - 3 = 0$ (NG)

$(x,y) = (1,0) \implies 1 - 2(0) - 3 = -2 < 0$ (OK)

$(x,y) = (1,1) \implies 1 - 2(1) - 3 = -4 < 0$ (OK)

$(x,y) = (1,2) \implies 1 - 2(2) - 3 = -6 < 0$ (OK)

$(x,y) = (2,-1) \implies 2 - 2(-1) - 3 = 1 > 0$ (NG)

$(x,y) = (2,0) \implies 2 - 2(0) - 3 = -1 < 0$ (OK)

$(x,y) = (2,1) \implies 2 - 2(1) - 3 = -3 < 0$ (OK)

$(x,y) = (3,0) \implies 3 - 2(0) - 3 = 0$ (NG)

3. 最終的な答え

したがって、与えられた不等式を同時に満たす整数の組 $(x, y)$ は、

$(-1, 0), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1)$

の9組です。