与えられた条件の下で、以下の値を求めます。 (1) $a+b+c=4$, $ab+bc+ca=2$, $abc=-1$ のとき、$(a+b)(b+c)(c+a)$ (2) $a+b+c=0$ のとき、$a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) + b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}) + c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$ (3) $x+\frac{1}{z} = 1$, $y+\frac{1}{x} = 1$ のとき、$xyz$

1. 問題の内容

与えられた条件の下で、以下の値を求めます。

(1) $a+b+c=4$, $ab+bc+ca=2$, $abc=-1$ のとき、$(a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $a+b+c=0$ のとき、$a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) + b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}) + c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

(3) $x+\frac{1}{z} = 1$, $y+\frac{1}{x} = 1$ のとき、$xyz$

2. 解き方の手順

(1)

$(a+b)(b+c)(c+a)$ を変形します。

まず、$a+b = (a+b+c) - c = 4-c$、同様に $b+c = 4-a$、$c+a = 4-b$ となります。

よって、$(a+b)(b+c)(c+a) = (4-a)(4-b)(4-c)$ を計算します。

$(4-a)(4-b)(4-c) = (16 - 4b - 4a + ab)(4-c) = 64 - 16c - 16b + 4bc - 16a + 4ac + 4ab - abc = 64 - 16(a+b+c) + 4(ab+bc+ca) - abc$

与えられた条件を代入すると、

$64 - 16(4) + 4(2) - (-1) = 64 - 64 + 8 + 1 = 9$

(2)

$a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) + b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}) + c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) = a(\frac{c+b}{bc}) + b(\frac{a+c}{ac}) + c(\frac{b+a}{ab}) = \frac{a(c+b)}{bc} + \frac{b(a+c)}{ac} + \frac{c(b+a)}{ab} = \frac{a^2(c+b) + b^2(a+c) + c^2(b+a)}{abc}$

$a^2(c+b) + b^2(a+c) + c^2(b+a) = a^2c + a^2b + b^2a + b^2c + c^2b + c^2a$

$a+b+c = 0$ より、$a+b = -c$, $b+c = -a$, $c+a = -b$ です。

与式を、$a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)$の形になるように整理すると

$a^2c + a^2b + b^2a + b^2c + c^2b + c^2a=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) = ab(-c) + bc(-a) + ca(-b) = -3abc$

$\frac{-3abc}{abc} = -3$

(3)

$x+\frac{1}{z} = 1$ より、$xz+1 = z$ なので、$xz = z-1$

$y+\frac{1}{x} = 1$ より、$xy+1 = x$ なので、$xy = x-1$

$x = \frac{xy+1}{1} = xy + 1$

$z = \frac{xz+1}{1} = xz + 1$

$x = xy+1$ より $xy = x-1$ なので $y = \frac{x-1}{x}$.

$x + \frac{1}{z} = 1$ より $z = \frac{1}{1-x}$。

$xyz = x(\frac{x-1}{x})(\frac{1}{1-x}) = \frac{x-1}{1-x} = -1$

3. 最終的な答え

(1) 9

(2) -3

(3) -1