-27 の 3 乗根を求めよ。つまり、ある数 $x$ を 3 乗すると -27 になるような $x$ を見つける問題です。

1. 問題の内容

-27 の 3 乗根を求めよ。つまり、ある数 $x$ を 3 乗すると -27 になるような $x$ を見つける問題です。

2. 解き方の手順

3 乗根を求めるということは、ある数 $x$ に対して $x^3 = -27$ となるような $x$ を探すことになります。

まず、$x^3 = -27$ という式を考えます。-27 は -3 の 3 乗、つまり $(-3)^3$ と表すことができます。

$(-3)^3 = -3 \times -3 \times -3 = -27$

したがって、$x = -3$ が解の一つであることがわかります。

複素数の範囲まで考えると、3乗根は3つ存在します。$-27 = 27e^{i(\pi + 2k\pi)}$ と表すことができます。ここで、$k$は整数です。

3乗根は、

$x_k = (27e^{i(\pi + 2k\pi)})^{1/3} = 3 e^{i(\frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3})}$

$k = 0, 1, 2$ に対して、

$x_0 = 3 e^{i\frac{\pi}{3}} = 3 (\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = 3 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{2} + i \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$x_1 = 3 e^{i\pi} = 3 (\cos \pi + i \sin \pi) = 3(-1 + i(0)) = -3$

$x_2 = 3 e^{i\frac{5\pi}{3}} = 3 (\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}) = 3 (\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{2} - i \frac{3\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

実数の範囲では、-27 の 3 乗根は -3 です。

複素数の範囲では、-27 の 3 乗根は $-3$, $\frac{3}{2} + i \frac{3\sqrt{3}}{2}$, $\frac{3}{2} - i \frac{3\sqrt{3}}{2}$ です。

問題文に特に指定がない場合は、実数の範囲で答えるのが一般的です。

したがって、答えは-3です。