## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

151：ある品物の売価が1個100円のときは、1日300個の売り上げがある。売価を1円値上げすると、1日2個の割合で売り上げが減る。1日の売り上げ金額を最大にするには、売価をいくらにするとよいか。ただし、消費税は考えないものとする。

152：直角をはさむ2辺の長さの和が12である直角三角形がある。このような三角形の斜辺の長さの最小値を求めよ。

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2. 解き方の手順

### 151

1. 値上げ額を $x$ 円とする。

2. 売価は $100 + x$ 円になる。

3. 売り上げ個数は $300 - 2x$ 個になる。

4. 1日の売り上げ金額 $S$ は、以下の式で表せる。

$S = (100 + x)(300 - 2x)$

5. $S$ を展開して整理する。

$S = 30000 - 200x + 300x - 2x^2$

$S = -2x^2 + 100x + 30000$

6. $S$ を平方完成する。

$S = -2(x^2 - 50x) + 30000$

$S = -2(x^2 - 50x + 625 - 625) + 30000$

$S = -2(x - 25)^2 + 1250 + 30000$

$S = -2(x - 25)^2 + 31250$

7. $S$ が最大となるのは、$x = 25$ のときである。

8. 売価は $100 + x = 100 + 25 = 125$ 円となる。

### 152

1. 直角をはさむ2辺の長さをそれぞれ $a$, $b$ とする。

2. 問題文より、$a + b = 12$。

3. 斜辺の長さを $c$ とすると、三平方の定理より $c^2 = a^2 + b^2$。

4. $b = 12 - a$ を $c^2 = a^2 + b^2$ に代入する。

$c^2 = a^2 + (12 - a)^2$

5. $c^2$ を展開して整理する。

$c^2 = a^2 + 144 - 24a + a^2$

$c^2 = 2a^2 - 24a + 144$

6. $c^2$ を平方完成する。

$c^2 = 2(a^2 - 12a) + 144$

$c^2 = 2(a^2 - 12a + 36 - 36) + 144$

$c^2 = 2(a - 6)^2 - 72 + 144$

$c^2 = 2(a - 6)^2 + 72$

7. $c^2$ が最小となるのは、$a = 6$ のときである。このとき、$b = 12 - a = 12 - 6 = 6$。

8. $c^2$ の最小値は72なので、$c$ の最小値は $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$。

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3. 最終的な答え

151：125円

152：$6\sqrt{2}$