多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 3$ を $x^2 - x - 2$ で割ったときの余りが $-2x + 1$ であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 3$ を $x^2 - x - 2$ で割ったときの余りが $-2x + 1$ であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - x - 2$ を因数分解すると、

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$

したがって、$P(x)$ を $x^2 - x - 2$ で割った余りが $-2x + 1$ であることから、$P(2) = -2(2) + 1$ かつ $P(-1) = -2(-1) + 1$ が成り立つ。

$P(2) = 2^3 + a(2^2) + b(2) - 3 = 8 + 4a + 2b - 3 = 4a + 2b + 5$

$-2(2) + 1 = -4 + 1 = -3$

したがって、

$4a + 2b + 5 = -3$

$4a + 2b = -8$

$2a + b = -4$ (1)

$P(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) - 3 = -1 + a - b - 3 = a - b - 4$

$-2(-1) + 1 = 2 + 1 = 3$

したがって、

$a - b - 4 = 3$

$a - b = 7$ (2)

(1) + (2) より

$2a + b + a - b = -4 + 7$

$3a = 3$

$a = 1$

(2) に $a = 1$ を代入すると、

$1 - b = 7$

$-b = 6$

$b = -6$

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = -6$