関数 $y = x^2 - 2ax - 2a$ (ただし、$0 \le x \le 2$) の最小値が $1$ であるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax - 2a$ (ただし、$0 \le x \le 2$) の最小値が $1$ であるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax - 2a = (x - a)^2 - a^2 - 2a$

このグラフの軸は $x = a$ です。定義域が $0 \le x \le 2$ であることに注意して、軸の位置によって場合分けをします。

(1) $a < 0$ のとき

定義域 $0 \le x \le 2$ において、関数は単調減少なので、$x = 0$ で最小値をとります。

$y(0) = 0^2 - 2a(0) - 2a = -2a = 1$

$a = -\frac{1}{2}$

これは $a < 0$ を満たします。

(2) $0 \le a \le 2$ のとき

定義域 $0 \le x \le 2$ に軸が含まれるので、$x = a$ で最小値をとります。

$y(a) = (a - a)^2 - a^2 - 2a = -a^2 - 2a = 1$

$a^2 + 2a + 1 = 0$

$(a + 1)^2 = 0$

$a = -1$

これは $0 \le a \le 2$ を満たしません。

(3) $a > 2$ のとき

定義域 $0 \le x \le 2$ において、関数は単調増加なので、$x = 2$ で最小値をとります。

$y(2) = 2^2 - 2a(2) - 2a = 4 - 4a - 2a = 4 - 6a = 1$

$6a = 3$

$a = \frac{1}{2}$

これは $a > 2$ を満たしません。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{2}$