$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 2x - 2$ ($0 \le x \le a$) について、最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 2x - 2$ ($0 \le x \le a$) について、最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成して、頂点の座標を求めます。

$y = x^2 - 2x - 2 = (x - 1)^2 - 3$

したがって、頂点の座標は $(1, -3)$ です。

次に、定義域 $0 \le x \le a$ における最小値を考えます。

場合分けを行います。

(i) $0 < a < 1$ のとき

定義域の右端 $x = a$ で最小値をとります。

$y = a^2 - 2a - 2$

(ii) $1 \le a$ のとき

頂点の $x$ 座標が定義域に含まれているので、頂点で最小値をとります。

$y = -3$

まとめると、

- $0 < a < 1$ のとき、最小値は $a^2 - 2a - 2$

- $1 \le a$ のとき、最小値は $-3$

3. 最終的な答え

$0 < a < 1$ のとき、最小値は $a^2 - 2a - 2$

$1 \le a$ のとき、最小値は $-3$