$f(x)$ に $x = 0$ を代入します。 $f(0) = (0)^2 - 8(0) + 10$

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1. 問題の内容

画像の問題は、以下の4つのパートに分かれています。

(1) 関数 $f(x) = x^2 - 8x + 10$ について、以下の問いに答える。

* $f(0)$ の値を求める。

* 2次関数 $y = f(x)$ のグラフの軸と頂点を求める。

(2) 放物線 $y = 3x^2 + 6x + 2$ を、以下の方法で移動させた場合に得られる放物線の方程式をそれぞれ求める。

* x軸に関して対称移動

* y軸に関して対称移動

* 原点に関して対称移動

(3) 2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 1$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める。

(4) 次の方程式・不等式を解く。

* $5x^2 + 7x - 6 = 0$

* $x^2 - 2x - 3 < 0$

* 連立不等式 $\begin{cases} x^2 - 2x - 3 < 0 \\ 5x^2 + 7x - 6 \ge 0 \end{cases}$

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2. 解き方の手順

**(1) f(x) = x^2 - 8x + 10 について**

1. $f(0)$ の値を求める:

$f(x)$ に $x = 0$ を代入します。

$f(0) = (0)^2 - 8(0) + 10$

2. 2次関数 $y = f(x)$ のグラフの軸と頂点を求める:

$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 8x + 10 = (x - 4)^2 - 16 + 10 = (x - 4)^2 - 6$

頂点は $(4, -6)$ であり、軸は $x = 4$ です。

**(2) 放物線 y = 3x^2 + 6x + 2 の移動**

放物線 $y = 3x^2 + 6x + 2$ を移動させる問題を解きます。

1. x軸に関して対称移動:

$y$ を $-y$ に置き換えます。

$-y = 3x^2 + 6x + 2$

$y = -3x^2 - 6x - 2$

2. y軸に関して対称移動:

$x$ を $-x$ に置き換えます。

$y = 3(-x)^2 + 6(-x) + 2$

$y = 3x^2 - 6x + 2$

3. 原点に関して対称移動:

$x$ を $-x$ に、 $y$ を $-y$ に置き換えます。

$-y = 3(-x)^2 + 6(-x) + 2$

$-y = 3x^2 - 6x + 2$

$y = -3x^2 + 6x - 2$

**(3) 2次関数 y = 2x^2 - 4x + 1 の最大値と最小値**

2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 1$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める。

1. 平方完成する。

$y = 2(x^2 - 2x) + 1 = 2(x - 1)^2 - 2 + 1 = 2(x - 1)^2 - 1$

頂点は $(1, -1)$ です。

2. 範囲の両端と頂点での $y$ の値を計算します。

* $x = -1$ のとき: $y = 2(-1 - 1)^2 - 1 = 2(4) - 1 = 7$

* $x = 1$ のとき: $y = -1$

* $x = 2$ のとき: $y = 2(2 - 1)^2 - 1 = 2(1) - 1 = 1$

3. 最大値と最小値を決定します。

最大値は7 ($x = -1$ のとき)、最小値は-1 ($x = 1$ のとき)。

**(4) 方程式・不等式を解く**

1. $5x^2 + 7x - 6 = 0$

因数分解します。

$(5x - 3)(x + 2) = 0$

$x = \frac{3}{5}, -2$

2. $x^2 - 2x - 3 < 0$

因数分解します。

$(x - 3)(x + 1) < 0$

$-1 < x < 3$

3. $\begin{cases} x^2 - 2x - 3 < 0 \\ 5x^2 + 7x - 6 \ge 0 \end{cases}$

* $x^2 - 2x - 3 < 0$ より、 $-1 < x < 3$

* $5x^2 + 7x - 6 \ge 0$ より、$(5x - 3)(x + 2) \ge 0$。したがって、$x \le -2$ または $x \ge \frac{3}{5}$

この2つの範囲の共通部分を求めます。

$-1 < x < 3$ と $x \le -2$ または $x \ge \frac{3}{5}$ の共通範囲は $\frac{3}{5} \le x < 3$

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3. 最終的な答え

(1)

* $f(0) = 10$

* 軸: $x = 4$、頂点: $(4, -6)$

(2)

* x軸に関して対称移動: $y = -3x^2 - 6x - 2$

* y軸に関して対称移動: $y = 3x^2 - 6x + 2$

* 原点に関して対称移動: $y = -3x^2 + 6x - 2$

(3)

* 最大値: 7

* 最小値: -1

(4)

* $5x^2 + 7x - 6 = 0$: $x = \frac{3}{5}, -2$

* $x^2 - 2x - 3 < 0$: $-1 < x < 3$

* 連立不等式: $\frac{3}{5} \le x < 3$