与えられた式を計算して、最も簡単な形にしてください。 $ \frac{1}{(x-1)x} + \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} $

1. 問題の内容

与えられた式を計算して、最も簡単な形にしてください。

$\frac{1}{(x-1)x} + \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)}$

2. 解き方の手順

各分数を通分しやすいように部分分数分解します。

$\frac{1}{(x-1)x} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

したがって、与えられた式は、

$(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}) + (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) + (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2})$

となり、括弧を外すと

$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

となり、$-\frac{1}{x}$と$\frac{1}{x}$, $-\frac{1}{x+1}$と$\frac{1}{x+1}$がそれぞれ打ち消し合うので、

$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2}$

となります。これを計算すると

$\frac{(x+2) - (x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{x+2-x+1}{(x-1)(x+2)} = \frac{3}{(x-1)(x+2)}$

$\frac{3}{(x-1)(x+2)} = \frac{3}{x^2+x-2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{(x-1)(x+2)}$ または $\frac{3}{x^2+x-2}$