実数 $\alpha, \beta, \gamma$ が $\alpha + \beta + \gamma = 2$, $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 6$, $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 8$ を満たすとき、$\alpha, \beta, \gamma$ を解にもつ3次方程式 $x^3 + Ax^2 + Bx + C = 0$ の係数 $A, B, C$ を求める。

1. 問題の内容

実数 $\alpha, \beta, \gamma$ が $\alpha + \beta + \gamma = 2$, $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 6$, $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 8$ を満たすとき、$\alpha, \beta, \gamma$ を解にもつ3次方程式 $x^3 + Ax^2 + Bx + C = 0$ の係数 $A, B, C$ を求める。

2. 解き方の手順

$\alpha, \beta, \gamma$ を解にもつ3次方程式は、解と係数の関係から以下のようになる。

$x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma = 0$

したがって、$\alpha + \beta + \gamma$, $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$, $\alpha\beta\gamma$ を求める必要がある。

まず、

$(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$

より、

$2^2 = 6 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$

$4 = 6 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$

$2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) = -2$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -1$

次に、恒等式

$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 - \alpha\beta - \beta\gamma - \gamma\alpha)$

を用いると、

$8 - 3\alpha\beta\gamma = 2(6 - (-1))$

$8 - 3\alpha\beta\gamma = 2(7)$

$8 - 3\alpha\beta\gamma = 14$

$-3\alpha\beta\gamma = 6$

$\alpha\beta\gamma = -2$

したがって、3次方程式は

$x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma = 0$

$x^3 - 2x^2 - x - (-2) = 0$

$x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$

したがって、$A = -2, B = -1, C = 2$

3. 最終的な答え

$x^3 + (-2)x^2 + (-1)x + 2 = 0$