$a > 0$、かつ $a^{2x} = 5$のとき、$\frac{a^{4x} - a^{-4x}}{a^x - a^{-x}}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$、かつ $a^{2x} = 5$のとき、$\frac{a^{4x} - a^{-4x}}{a^x - a^{-x}}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$\frac{a^{4x} - a^{-4x}}{a^x - a^{-x}}$を因数分解することを考えます。

分子を因数分解すると、以下のようになります。

$a^{4x} - a^{-4x} = (a^{2x})^2 - (a^{-2x})^2 = (a^{2x} + a^{-2x})(a^{2x} - a^{-2x})$

さらに、$a^{2x} - a^{-2x}$も因数分解できます。

$a^{2x} - a^{-2x} = (a^x)^2 - (a^{-x})^2 = (a^x + a^{-x})(a^x - a^{-x})$

よって、分子は以下のようになります。

$a^{4x} - a^{-4x} = (a^{2x} + a^{-2x})(a^x + a^{-x})(a^x - a^{-x})$

元の式に代入すると、

$\frac{a^{4x} - a^{-4x}}{a^x - a^{-x}} = \frac{(a^{2x} + a^{-2x})(a^x + a^{-x})(a^x - a^{-x})}{a^x - a^{-x}} = (a^{2x} + a^{-2x})(a^x + a^{-x})$

ここで、$a^{2x} = 5$なので、$a^{-2x} = \frac{1}{a^{2x}} = \frac{1}{5}$です。

したがって、$a^{2x} + a^{-2x} = 5 + \frac{1}{5} = \frac{26}{5}$

次に、$a^x + a^{-x}$の値を求めます。

$(a^x + a^{-x})^2 = (a^x)^2 + 2a^x a^{-x} + (a^{-x})^2 = a^{2x} + 2 + a^{-2x}$

$a^{2x} + a^{-2x} = 5 + \frac{1}{5} = \frac{26}{5}$なので、

$(a^x + a^{-x})^2 = \frac{26}{5} + 2 = \frac{26}{5} + \frac{10}{5} = \frac{36}{5}$

$a^x > 0$なので、$a^x + a^{-x} = \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$

よって、$\frac{a^{4x} - a^{-4x}}{a^x - a^{-x}} = (a^{2x} + a^{-2x})(a^x + a^{-x}) = \frac{26}{5} \cdot \frac{6\sqrt{5}}{5} = \frac{156\sqrt{5}}{25}$

3. 最終的な答え

$\frac{156\sqrt{5}}{25}$