与えられた式は $S - 5S = 1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{n-1} - n \cdot 5^n$ であり、$ -4S = \frac{5^n - 1}{5 - 1} - n \cdot 5^n$ が成り立つことを示し、$S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式は $S - 5S = 1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{n-1} - n \cdot 5^n$ であり、$-4S = \frac{5^n - 1}{5 - 1} - n \cdot 5^n$ が成り立つことを示し、$S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$S - 5S$ を整理すると、$S - 5S = -4S$ となります。

次に、$1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{n-1}$ は初項1、公比5、項数 $n$ の等比数列の和なので、等比数列の和の公式を用いて計算できます。

等比数列の和の公式は $\frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ であり、この場合、$a = 1$, $r = 5$ なので、和は $\frac{1 \cdot (5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{5^n - 1}{4}$ となります。

したがって、$S - 5S = -4S = \frac{5^n - 1}{4} - n \cdot 5^n$ が成り立ちます。

両辺を-4で割ると、$S$ を求めることができます。

$-4S = \frac{5^n - 1}{4} - n \cdot 5^n$

$S = -\frac{1}{4} \left( \frac{5^n - 1}{4} - n \cdot 5^n \right)$

$S = -\frac{5^n - 1}{16} + \frac{n \cdot 5^n}{4}$

$S = \frac{-5^n + 1 + 4n \cdot 5^n}{16}$

$S = \frac{(4n - 1)5^n + 1}{16}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{(4n - 1)5^n + 1}{16}$