与えられた6つの二次方程式について、判別式を用いて解の種類（異なる2つの実数解、重解、異なる2つの虚数解）を判別する問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの二次方程式について、判別式を用いて解の種類（異なる2つの実数解、重解、異なる2つの虚数解）を判別する問題です。

2. 解き方の手順

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

* $D > 0$ のとき、異なる2つの実数解を持ちます。

* $D = 0$ のとき、重解を持ちます。

* $D < 0$ のとき、異なる2つの虚数解を持ちます。

それぞれの二次方程式について、判別式を計算し、その符号によって解の種類を判別します。

(1) $x^2 - 3x + 1 = 0$

$D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5 > 0$

したがって、異なる2つの実数解を持ちます。

(2) $6x^2 - 7x + 3 = 0$

$D = (-7)^2 - 4(6)(3) = 49 - 72 = -23 < 0$

したがって、異なる2つの虚数解を持ちます。

(3) $4x^2 - 12x + 9 = 0$

$D = (-12)^2 - 4(4)(9) = 144 - 144 = 0$

したがって、重解を持ちます。

(4) $-13x^2 + 12x - 3 = 0$

$D = (12)^2 - 4(-13)(-3) = 144 - 156 = -12 < 0$

したがって、異なる2つの虚数解を持ちます。

(5) $5x^2 - 4\sqrt{5}x + 4 = 0$

$D = (-4\sqrt{5})^2 - 4(5)(4) = 16 \cdot 5 - 80 = 80 - 80 = 0$

したがって、重解を持ちます。

(6) $-2x^2 + 3\sqrt{2}x - 2 = 0$

$D = (3\sqrt{2})^2 - 4(-2)(-2) = 9 \cdot 2 - 16 = 18 - 16 = 2 > 0$

したがって、異なる2つの実数解を持ちます。

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの実数解

(2) 異なる2つの虚数解

(3) 重解

(4) 異なる2つの虚数解

(5) 重解

(6) 異なる2つの実数解