数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ と漸化式 $a_{n+1} = -2a_n - 1$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ で定められているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ と漸化式 $a_{n+1} = -2a_n - 1$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ で定められているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を $a_{n+1} + \alpha = -2(a_n + \alpha)$ の形に変形する。

$a_{n+1} = -2a_n - 1$ と $a_{n+1} + \alpha = -2(a_n + \alpha)$ を比較すると、

$\alpha = -2\alpha - 1$ より $3\alpha = -1$、したがって $\alpha = -\frac{1}{3}$。

よって、漸化式は $a_{n+1} - \frac{1}{3} = -2(a_n - \frac{1}{3})$ と変形できる。

$b_n = a_n - \frac{1}{3}$ とおくと、 $b_{n+1} = -2b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比 $-2$ の等比数列である。

初項は $b_1 = a_1 - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。

したがって、 $b_n = \frac{2}{3}(-2)^{n-1}$。

$a_n = b_n + \frac{1}{3}$ より、

$a_n = \frac{2}{3}(-2)^{n-1} + \frac{1}{3}$

$a_n = \frac{2(-2)^{n-1} + 1}{3}$

$a_n = \frac{(-2)^{n} + 1}{3}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{(-2)^n + 1}{3}$