与えられた連立一次方程式を解き、解を $z=c$ とおいたときの形式で表現する問題です。連立一次方程式は以下の通りです。 $\begin{cases} 3x + 7y + 5z = 0 \\ x + y - z = 0 \\ x + 3y + 3z = 0 \end{cases}$
2025/6/30
1. 問題の内容
与えられた連立一次方程式を解き、解を とおいたときの形式で表現する問題です。連立一次方程式は以下の通りです。
$\begin{cases}
3x + 7y + 5z = 0 \\
x + y - z = 0 \\
x + 3y + 3z = 0
\end{cases}$
2. 解き方の手順
まず、連立方程式を行列で表現します。
$\begin{bmatrix}
3 & 7 & 5 \\
1 & 1 & -1 \\
1 & 3 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}$
次に、拡大係数行列を作り、行基本変形を用いて簡約化します。
$\begin{bmatrix}
3 & 7 & 5 & | & 0 \\
1 & 1 & -1 & | & 0 \\
1 & 3 & 3 & | & 0
\end{bmatrix}$
まず、2行目と1行目を入れ替えます。
$\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 0 \\
3 & 7 & 5 & | & 0 \\
1 & 3 & 3 & | & 0
\end{bmatrix}$
2行目から1行目の3倍を引きます。
3行目から1行目を引きます。
$\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 0 \\
0 & 4 & 8 & | & 0 \\
0 & 2 & 4 & | & 0
\end{bmatrix}$
2行目を4で割ります。
$\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 0 \\
0 & 1 & 2 & | & 0 \\
0 & 2 & 4 & | & 0
\end{bmatrix}$
3行目から2行目の2倍を引きます。
$\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 0 \\
0 & 1 & 2 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & | & 0
\end{bmatrix}$
1行目から2行目を引きます。
$\begin{bmatrix}
1 & 0 & -3 & | & 0 \\
0 & 1 & 2 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & | & 0
\end{bmatrix}$
したがって、連立方程式は以下のように簡約化されます。
$\begin{cases}
x - 3z = 0 \\
y + 2z = 0
\end{cases}$
とおくと、
したがって、解は
$\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z
\end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}
3 \\ -2 \\ 1
\end{bmatrix}$
3. 最終的な答え
ア: 3
イ: -2
ウ: 1