(1) 2次関数 $y = x^2 - 3ax + 2a^2 + a - 1$ のグラフがx軸に接するとき、定数 $a$ の値と接点のx座標を求める問題。 (2) 2次関数 $y = -x^2 + 6x + 1$ のグラフがx軸から切り取る線分の長さを求める問題。

1. 問題の内容

(1) 2次関数 $y = x^2 - 3ax + 2a^2 + a - 1$ のグラフがx軸に接するとき、定数 $a$ の値と接点のx座標を求める問題。

(2) 2次関数 $y = -x^2 + 6x + 1$ のグラフがx軸から切り取る線分の長さを求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

2次関数 $y = x^2 - 3ax + 2a^2 + a - 1$ のグラフがx軸に接するということは、2次方程式 $x^2 - 3ax + 2a^2 + a - 1 = 0$ が重解を持つということである。

したがって、判別式 $D = (-3a)^2 - 4(2a^2 + a - 1) = 0$ が成り立つ。

$9a^2 - 8a^2 - 4a + 4 = 0$

$a^2 - 4a + 4 = 0$

$(a-2)^2 = 0$

$a = 2$

このとき、2次関数は $y = x^2 - 6x + 8 + 2 - 1 = x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ となる。

よって、接点のx座標は $x = 3$ である。

(2)

2次関数 $y = -x^2 + 6x + 1$ のグラフがx軸から切り取る線分の長さは、2次方程式 $-x^2 + 6x + 1 = 0$ の解の差の絶対値である。

$-x^2 + 6x + 1 = 0$ を解くと、

$x^2 - 6x - 1 = 0$

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 3 \pm \sqrt{10}$

よって、解は $x = 3 + \sqrt{10}$ と $x = 3 - \sqrt{10}$ である。

線分の長さは $(3 + \sqrt{10}) - (3 - \sqrt{10}) = 2\sqrt{10}$ である。

3. 最終的な答え

(1)

定数 $a$ の値: 2

接点のx座標: 3

(2)

線分の長さ: $2\sqrt{10}$