(1) 2次不等式 $x^2 + mx + 3m - 5 > 0$ の解がすべての実数となるような、定数 $m$ の値の範囲を求める。 (2) 定数 $a, b$ に対して、2次不等式 $ax^2 + bx + 2 > 0$ の解が $-1 < x < 2$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。 (3) 不等式 $|x^2 + 2x - 8| < 7$ を満たす整数の個数を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次不等式 $x^2 + mx + 3m - 5 > 0$ の解がすべての実数となるような、定数 $m$ の値の範囲を求める。

(2) 定数 $a, b$ に対して、2次不等式 $ax^2 + bx + 2 > 0$ の解が $-1 < x < 2$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

(3) 不等式 $|x^2 + 2x - 8| < 7$ を満たす整数の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

2次不等式 $x^2 + mx + 3m - 5 > 0$ の解がすべての実数となるのは、2次方程式 $x^2 + mx + 3m - 5 = 0$ の判別式 $D$ が $D < 0$ となるときである。

$D = m^2 - 4(3m - 5) = m^2 - 12m + 20 < 0$

$(m - 2)(m - 10) < 0$

$2 < m < 10$

(2)

2次不等式 $ax^2 + bx + 2 > 0$ の解が $-1 < x < 2$ であるということは、$a < 0$ であり、2次方程式 $ax^2 + bx + 2 = 0$ の解が $x = -1, 2$ である。

2つの解の和は $-1 + 2 = 1 = -\frac{b}{a}$

2つの解の積は $-1 \cdot 2 = -2 = \frac{2}{a}$

したがって、 $a = -1$

$1 = -\frac{b}{-1} = b$

$b = 1$

(3)

不等式 $|x^2 + 2x - 8| < 7$ は $-7 < x^2 + 2x - 8 < 7$ と同値である。

$x^2 + 2x - 8 > -7$ かつ $x^2 + 2x - 8 < 7$

$x^2 + 2x - 1 > 0$ かつ $x^2 + 2x - 15 < 0$

$x^2 + 2x - 1 > 0$ について、解は $x < -1 - \sqrt{2}$ または $x > -1 + \sqrt{2}$ である。

$x^2 + 2x - 15 < 0$ について、解は $(x + 5)(x - 3) < 0$ より $-5 < x < 3$ である。

$-1 - \sqrt{2} \approx -1 - 1.414 = -2.414$

$-1 + \sqrt{2} \approx -1 + 1.414 = 0.414$

したがって、$x < -1 - \sqrt{2}$ または $x > -1 + \sqrt{2}$ と $-5 < x < 3$ を同時に満たす $x$ の範囲は $-5 < x < -1 - \sqrt{2}$ または $-1 + \sqrt{2} < x < 3$ である。

$-5 < x < -2.414$ を満たす整数は $-4, -3$ である。

$0.414 < x < 3$ を満たす整数は $1, 2$ である。

したがって、不等式 $|x^2 + 2x - 8| < 7$ を満たす整数は $-4, -3, 1, 2$ の4個である。

3. 最終的な答え

(1) $2 < m < 10$

(2) $a = -1, b = 1$

(3) 4個