2次方程式 $x^2 - mx + 2m + 5 = 0$ について、以下の3つの問いに答える。 (1) この方程式が異なる2つの実数解をもつときの $m$ の範囲を求める。 (2) この方程式が3より大きい解と3より小さい解をもつときの $m$ の範囲を求める。 (3) この方程式が異なる2つの3より大きい解をもつときの $m$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - mx + 2m + 5 = 0$ について、以下の3つの問いに答える。

(1) この方程式が異なる2つの実数解をもつときの $m$ の範囲を求める。

(2) この方程式が3より大きい解と3より小さい解をもつときの $m$ の範囲を求める。

(3) この方程式が異なる2つの3より大きい解をもつときの $m$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの実数解をもつ条件

2次方程式が異なる2つの実数解をもつための条件は、判別式 $D$ が正であることである。

$D = (-m)^2 - 4(1)(2m + 5) = m^2 - 8m - 20$

$D > 0$ より $m^2 - 8m - 20 > 0$

$(m - 10)(m + 2) > 0$

よって、$m < -2$ または $10 < m$

(2) 3より大きい解と3より小さい解をもつ条件

$f(x) = x^2 - mx + 2m + 5$ とおく。このとき、$f(3) < 0$ であれば、3より大きい解と3より小さい解をもつ。

$f(3) = 3^2 - 3m + 2m + 5 = 9 - 3m + 2m + 5 = 14 - m$

$14 - m < 0$ より $m > 14$

(3) 異なる2つの3より大きい解をもつ条件

異なる2つの解が3より大きい条件は、以下の3つの条件を満たす必要がある。

(i) 判別式 $D > 0$ (異なる2つの実数解をもつ)

(ii) 軸 $x = \frac{m}{2} > 3$ (軸が3より大きい)

(iii) $f(3) > 0$ ($x=3$のときyの値が正)

(i) $D > 0$ より $m < -2$ または $10 < m$ (上記(1)より)

(ii) $\frac{m}{2} > 3$ より $m > 6$

(iii) $f(3) = 14 - m > 0$ より $m < 14$

(i), (ii), (iii) の条件をすべて満たす範囲を求める。

$10 < m < 14$

3. 最終的な答え

(1) $m < -2, 10 < m$

(2) $m > 14$

(3) $10 < m < 14$