$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)(k+1)$ を計算し、$\frac{\text{ア}}{\text{イ}} n(\text{ウ} n^2 + \text{エ} n + \text{オ})$ の形で表す問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)(k+1)$ を計算し、$\frac{\text{ア}}{\text{イ}} n(\text{ウ} n^2 + \text{エ} n + \text{オ})$ の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(2k+1)(k+1)$ を展開します。

$(2k+1)(k+1) = 2k^2 + 2k + k + 1 = 2k^2 + 3k + 1$

次に、$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 + 3k + 1)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 + 3k + 1) = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

上記の公式を用いると、

$2\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3\frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{3n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{3n(n+1)}{2} + \frac{6n}{6}$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) + 9n(n+1) + 6n}{6}$

$= \frac{n[2(n+1)(2n+1) + 9(n+1) + 6]}{6}$

$= \frac{n[2(2n^2+3n+1) + 9n+9 + 6]}{6}$

$= \frac{n[4n^2+6n+2 + 9n+15]}{6}$

$= \frac{n(4n^2+15n+17)}{6}$

したがって、

$\frac{\text{ア}}{\text{イ}} = \frac{1}{6}$

$\text{ウ} = 4$

$\text{エ} = 15$

$\text{オ} = 17$

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 6

ウ: 4

エ: 15

オ: 17