与えられた行列 $A$ に対して、指定された行基本変形を行い、$PA$を求め、そのときの行列 $P$ を求める問題です。 $A = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 5 & 10 & 0 \end{pmatrix}$ 行基本変形は以下の通りです。 1. 第1行と第2行を入れ替える ($1 \leftrightarrow 2$)

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ に対して、指定された行基本変形を行い、$PA$を求め、そのときの行列 $P$ を求める問題です。

$A = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 5 & 10 & 0 \end{pmatrix}$

行基本変形は以下の通りです。

1. 第1行と第2行を入れ替える ($1 \leftrightarrow 2$)

2. 第2行に第1行の-3倍を加える ($2 + 1 \times (-3)$)

3. 第3行に第1行の-1倍を加える ($3 + 1 \times (-1)$)

4. 第3行に第2行の1倍を加える ($3 + 2 \times 1$)

2. 解き方の手順

まず、単位行列 $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、行列 $A$ に行う行基本変形と同じ操作を左から行います。

1. 第1行と第2行を入れ替える:

$P_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A_1 = P_1 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 2 & 4 \\ 1 & 5 & 10 & 0 \end{pmatrix}$

2. 第2行に第1行の-3倍を加える:

$P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A_2 = P_2 A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & -7 & 1 \\ 1 & 5 & 10 & 0 \end{pmatrix}$

3. 第3行に第1行の-1倍を加える:

$P_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A_3 = P_3 A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & -7 & 1 \\ 0 & 3 & 7 & -1 \end{pmatrix}$

4. 第3行に第2行の1倍を加える:

$P_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$A_4 = P_4 A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & -7 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$P = P_4 P_3 P_2 P_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

$PA = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & -7 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

$PA = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & -7 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$