$a > 1$ とする。定義域が $1 \le x \le a$ である関数 $y = x^2 - 4x + 7$ について、次の問いに答えよ。最小値を求めよ。答えは、下の選択肢から選ぶ。

1. 問題の内容

$a > 1$ とする。定義域が $1 \le x \le a$ である関数 $y = x^2 - 4x + 7$ について、次の問いに答えよ。最小値を求めよ。答えは、下の選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y = x^2 - 4x + 7$ を平方完成します。

$y = (x - 2)^2 - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3$

この放物線の頂点は $(2, 3)$ です。

次に、定義域 $1 \le x \le a$ の範囲で、放物線の最小値を考えます。

(1) $1 < a < ア$ のとき

頂点の $x$ 座標である $x=2$ が定義域に含まれるのは、$1 \le 2 \le a$、つまり $2 \le a$ のときです。

したがって、$1 < a < 2$ のときは、定義域の左端である $x=1$ で最小値をとります。$x=1$ のとき、$y = 1^2 - 4(1) + 7 = 1 - 4 + 7 = 4$。

一方、$a \ge 2$ のときは、頂点 $x=2$ が定義域に含まれるので、$x=2$ で最小値 $y=3$ をとります。

ア：$1 < a < ア$ に対応する $x=1$ で最小値 $4$ をとる条件は、$1 < a < 2$ であるため、アは 2。

イ：このとき $x=1$ で最小値をとるため、イは 1。

ウ：このとき最小値は $4$ なので、ウは 4。

(2) $ア \le a$ のとき

ア：$2 \le a$ のとき

エ：このとき、頂点の $x$ 座標 $x=2$ で最小値をとるので、エは 2。

オ：このとき最小値は $3$ なので、オは 3。

まとめると、

$1 < a < 2$ のとき、$x = 1$ で最小値 $4$ をとる。

$2 \le a$ のとき、$x = 2$ で最小値 $3$ をとる。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 1

ウ: 4

エ: 2

オ: 3