数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n = 2n^2 + n$で与えられているとき、一般項$a_n$を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n = 2n^2 + n$で与えられているとき、一般項$a_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

数列の和$S_n$と一般項$a_n$の関係は、

$n \ge 2$のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$で求められます。

また、$a_1 = S_1$です。

まず、$S_1$を求めます。

$S_1 = 2 \cdot 1^2 + 1 = 2 + 1 = 3$

したがって、$a_1 = 3$です。

次に、$n \ge 2$のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$を計算します。

$S_n = 2n^2 + n$

$S_{n-1} = 2(n-1)^2 + (n-1) = 2(n^2 - 2n + 1) + n - 1 = 2n^2 - 4n + 2 + n - 1 = 2n^2 - 3n + 1$

したがって、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 + n) - (2n^2 - 3n + 1) = 2n^2 + n - 2n^2 + 3n - 1 = 4n - 1$

$a_n = 4n - 1$は、$n \ge 2$のときのみ定義されています。

$n=1$のとき、$a_1 = 4 \cdot 1 - 1 = 4 - 1 = 3$となり、これは最初に求めた$a_1 = 3$と一致します。

したがって、すべての$n$に対して、$a_n = 4n - 1$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 4n - 1$