$a>1$ とする。定義域が $1 \le x \le a$ である関数 $y = x^2 - 4x + 7$ について、最大値を求める問題です。$a$ の値の範囲によって場合分けをし、最大値を与える $x$ の値と最大値を求める必要があります。選択肢は 1, 2, 3, 4, 5, 6, a, $a^2-4a+7$ です。

1. 問題の内容

$a>1$ とする。定義域が $1 \le x \le a$ である関数 $y = x^2 - 4x + 7$ について、最大値を求める問題です。$a$ の値の範囲によって場合分けをし、最大値を与える $x$ の値と最大値を求める必要があります。選択肢は 1, 2, 3, 4, 5, 6, a, $a^2-4a+7$ です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = x^2 - 4x + 7$ を平方完成します。

$y = (x-2)^2 + 3$

このグラフは下に凸の放物線で、軸は $x=2$ です。

(i) $1 < a < 3$ のとき：

定義域 $1 \le x \le a$ において、$x=1$ で最大値をとります。

$x=1$ のとき、$y = 1^2 - 4(1) + 7 = 1 - 4 + 7 = 4$

したがって、

$1 < a < 3$ のとき、$x=1$ で、最大値 $4$ をとります。

(ii) $a = 3$ のとき：

定義域 $1 \le x \le 3$ において、$x=1$ と $x=3$ で同じ最大値をとります。

$x=1$ のとき、$y=4$

$x=3$ のとき、$y = 3^2 - 4(3) + 7 = 9 - 12 + 7 = 4$

したがって、

$a=3$ のとき、$x=1, 3$ で、最大値 $4$ をとります。

(iii) $3 < a$ のとき：

定義域 $1 \le x \le a$ において、$x=a$ で最大値をとります。

$x=a$ のとき、$y = a^2 - 4a + 7$

したがって、

$3 < a$ のとき、$x=a$ で、最大値 $a^2 - 4a + 7$ をとります。

3. 最終的な答え

- カ：3

- キ：1

- ク：4

- ケ：1

- コ：3

- サ：4

- シ：a

- ス：$a^2-4a+7$