2次関数 $f(x)$ が $f''(x) + 2f'(x) = 8x$ および $f(0) = 1$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x)$ が $f''(x) + 2f'(x) = 8x$ および $f(0) = 1$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ が2次関数であるから、$f(x) = ax^2 + bx + c$ とおくことができます。

このとき、$f'(x) = 2ax + b$ および $f''(x) = 2a$ となります。

これらを $f''(x) + 2f'(x) = 8x$ に代入すると、

$2a + 2(2ax + b) = 8x$

$2a + 4ax + 2b = 8x$

この式がすべての $x$ について成り立つためには、$x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。

したがって、

$4a = 8$

$2a + 2b = 0$

これらの式から、$a$ と $b$ を求めます。

$4a = 8$ より、$a = 2$

$2a + 2b = 0$ に $a=2$ を代入すると、$2(2) + 2b = 0$ より、$4 + 2b = 0$ なので、$b = -2$

したがって、$f(x) = 2x^2 - 2x + c$ となります。

次に、$f(0) = 1$ を用いて、$c$ を求めます。

$f(0) = 2(0)^2 - 2(0) + c = 1$

$0 - 0 + c = 1$

$c = 1$

よって、$f(x) = 2x^2 - 2x + 1$ となります。

3. 最終的な答え

$f(x) = 2x^2 - 2x + 1$