3次方程式 $x^3 + 6x^2 - 8 = 0$ の異なる実数解の個数を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 6x^2 - 8 = 0$ の異なる実数解の個数を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を関数 $f(x) = x^3 + 6x^2 - 8$ とおきます。

この関数のグラフを描いて、x軸との交点の数を調べれば、実数解の個数が分かります。

そのため、微分を用いて関数の増減を調べます。

$f'(x) = 3x^2 + 12x = 3x(x+4)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると、$x=0, -4$。

増減表を書くと以下のようになります。

| x | ... | -4 | ... | 0 | ... |

|--------|-------|------|-------|-----|-------|

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

$f(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 - 8 = -64 + 96 - 8 = 24$

$f(0) = 0^3 + 6(0)^2 - 8 = -8$

したがって、$x=-4$ で極大値24、$x=0$ で極小値-8 をとります。

$f(x)$は3次関数であり、$x \to -\infty$ のとき $f(x) \to -\infty$、$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$ です。

また、極大値が正の値、極小値が負の値であるため、$f(x)=0$ は3つの異なる実数解を持ちます。

3. 最終的な答え

異なる実数解の個数は3個