与えられた一次不等式、連立不等式、二次不等式を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた一次不等式、連立不等式、二次不等式を解く問題です。

2. 解き方の手順

(1) $2x + 7 > 5x - 8$ を解きます。

まず、両辺から $2x$ を引くと、 $7 > 3x - 8$ となります。

次に、両辺に $8$ を加えると、 $15 > 3x$ となります。

最後に、両辺を $3$ で割ると、 $5 > x$ となり、$x < 5$ です。

(2) $|x - 2| < 5$ を解きます。

これは $-5 < x - 2 < 5$ と同値です。

各辺に $2$ を加えると、 $-3 < x < 7$ となります。

(3) $|x+1| + |x-5| < 5$ を解きます。

$x < -1$ のとき、 $-x - 1 - x + 5 < 5$ となり、 $-2x + 4 < 5$、$-2x < 1$、$x > -\frac{1}{2}$。これは $x < -1$ と矛盾します。

$-1 \le x \le 5$ のとき、$x + 1 - x + 5 < 5$ となり、$6 < 5$ これは矛盾です。

$x > 5$ のとき、$x + 1 + x - 5 < 5$ となり、$2x - 4 < 5$、$2x < 9$、$x < \frac{9}{2}$。よって、$5 < x < \frac{9}{2}$。

したがって、$5 < x < \frac{9}{2}$ です。

(4) の連立不等式

$\begin{cases} 4x - 8 < x + 1 \\ 3x + 4 < 5x + 8 \end{cases}$

上の不等式から $3x < 9$ なので $x < 3$。

下の不等式から $-4 < 2x$ なので $-2 < x$。

したがって、$-2 < x < 3$。

(5) の連立不等式

$\begin{cases} 2x+1 \le x+5 \\ x+5 \le 3x+4 \end{cases}$

上の不等式から $x \le 4$。

下の不等式から $1 \le 2x$ なので $\frac{1}{2} \le x$。

したがって、$\frac{1}{2} \le x \le 4$。

(6) の連立不等式

$\begin{cases} 2x + 3 \ge -5x + 45 \\ -x - 3 \ge 2x - 15 \end{cases}$

上の不等式から $7x \ge 42$ なので $x \ge 6$。

下の不等式から $-3x \ge -12$ なので $x \le 4$。

したがって、解なし。

(7) の連立不等式

$\begin{cases} 2x + 3 \ge -5x + 1 \\ -x - 3 < 2x - 2 \end{cases}$

上の不等式から $7x \ge -2$ なので $x \ge -\frac{2}{7}$。

下の不等式から $-3x < 1$ なので $x > -\frac{1}{3}$。

したがって、$x > -\frac{1}{3}$。

(8) $x^2 + 4x + 3 < 0$

$(x + 1)(x + 3) < 0$ なので $-3 < x < -1$。

(9) $3x^2 + 4x \ge x^2 - 3x$

$2x^2 + 7x \ge 0$

$x(2x + 7) \ge 0$ なので $x \le -\frac{7}{2}, x \ge 0$。

(10) $2x^2 - 4x + 2 > 0$

$2(x - 1)^2 > 0$ なので $x \neq 1$。

(11) $2x^2 - x + 6 < 0$

$2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{47}{8} < 0$ となり、実数解なし。

3. 最終的な答え

(1) $x < 5$

(2) $-3 < x < 7$

(3) $5 < x < \frac{9}{2}$

(4) $-2 < x < 3$

(5) $\frac{1}{2} \le x \le 4$

(6) 解なし

(7) $x > -\frac{1}{3}$

(8) $-3 < x < -1$

(9) $x \le -\frac{7}{2}, x \ge 0$

(10) $x \neq 1$

(11) 解なし