与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 頂点の座標と通る点が与えられたときの2次関数を求める問題 (2) 3つの通る点が与えられたときの2次関数を求める問題

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 頂点の座標と通る点が与えられたときの2次関数を求める問題

(2) 3つの通る点が与えられたときの2次関数を求める問題

2. 解き方の手順

(1) 頂点が$(1, -5)$であるから、求める2次関数は$y=a(x-1)^2-5$と表せる。

この関数が点$(2, -3)$を通るから、

$-3 = a(2-1)^2 - 5$

$-3 = a - 5$

$a = 2$

よって、求める2次関数は$y = 2(x-1)^2 - 5 = 2(x^2 - 2x + 1) - 5 = 2x^2 - 4x + 2 - 5 = 2x^2 - 4x - 3$となる。

(2) 求める2次関数を$y = ax^2 + bx + c$とする。

この関数が点$(2, -2), (3, 5), (-1, 1)$を通るから、以下の3つの式が成り立つ。

$4a + 2b + c = -2$

$9a + 3b + c = 5$

$a - b + c = 1$

これらの式を連立して解く。

2番目の式から1番目の式を引くと、$5a + b = 7$

2番目の式から3番目の式を引くと、$8a + 4b = 4$

これを整理すると、$2a + b = 1$

$5a + b = 7$から$2a + b = 1$を引くと、$3a = 6$より$a=2$

$2a + b = 1$に$a=2$を代入すると、$4+b = 1$より$b=-3$

$a - b + c = 1$に$a=2, b=-3$を代入すると、$2 - (-3) + c = 1$より、$5 + c = 1$よって、$c = -4$

よって、求める2次関数は$y = 2x^2 - 3x - 4$となる。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 4x - 3$

(2) $y = 2x^2 - 3x - 4$