点 $(2, 1)$ から直線 $kx + y + 1 = 0$ に下ろした垂線の長さが $\sqrt{3}$ であるとき、定数 $k$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(2, 1)$ から直線 $kx + y + 1 = 0$ に下ろした垂線の長さが $\sqrt{3}$ であるとき、定数 $k$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

点と直線の距離の公式を利用します。点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、次の式で与えられます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

今回の問題では、点 $(x_0, y_0) = (2, 1)$、直線 $ax + by + c = kx + y + 1 = 0$、距離 $d = \sqrt{3}$ です。

したがって、次の式が成り立ちます。

$\sqrt{3} = \frac{|k(2) + 1 + 1|}{\sqrt{k^2 + 1^2}}$

これを解いて $k$ の値を求めます。

まず、両辺を2乗します。

$3 = \frac{(2k + 2)^2}{k^2 + 1}$

両辺に $k^2 + 1$ を掛けます。

$3(k^2 + 1) = (2k + 2)^2$

$3k^2 + 3 = 4k^2 + 8k + 4$

移項して整理します。

$0 = k^2 + 8k + 1$

この2次方程式を解の公式を使って解きます。

$k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$k = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$

$k = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4}}{2}$

$k = \frac{-8 \pm \sqrt{60}}{2}$

$k = \frac{-8 \pm 2\sqrt{15}}{2}$

$k = -4 \pm \sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$k = -4 + \sqrt{15}, -4 - \sqrt{15}$