二項定理を用いて、$(a-b)^5$ を展開しなさい。

1. 問題の内容

二項定理を用いて、$(a-b)^5$ を展開しなさい。

2. 解き方の手順

二項定理は、$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{n-k}y^k$ で与えられます。

この式を $(a-b)^5$ に適用します。

$n=5$, $x=a$, $y=-b$ なので、

$(a-b)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k}a^{5-k}(-b)^k$

となります。各項を計算します。

$k=0$: $\binom{5}{0}a^5(-b)^0 = 1 \cdot a^5 \cdot 1 = a^5$

$k=1$: $\binom{5}{1}a^4(-b)^1 = 5 \cdot a^4 \cdot (-b) = -5a^4b$

$k=2$: $\binom{5}{2}a^3(-b)^2 = 10 \cdot a^3 \cdot b^2 = 10a^3b^2$

$k=3$: $\binom{5}{3}a^2(-b)^3 = 10 \cdot a^2 \cdot (-b^3) = -10a^2b^3$

$k=4$: $\binom{5}{4}a^1(-b)^4 = 5 \cdot a \cdot b^4 = 5ab^4$

$k=5$: $\binom{5}{5}a^0(-b)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (-b^5) = -b^5$

したがって、

$(a-b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$

3. 最終的な答え

$a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$