(1) 2次方程式 $x^2 + 5x + 1 = 0$ を解く。 (2) 2次方程式 $x^2 + 4x + m = 0$ が異なる2つの実数解をもつような定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 + 5x + 1 = 0$ を解く。

(2) 2次方程式 $x^2 + 4x + m = 0$ が異なる2つの実数解をもつような定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 + 5x + 1 = 0$ を解く。解の公式を用いる。解の公式は $ax^2 + bx + c = 0$ のとき、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

である。この問題では $a = 1$, $b = 5$, $c = 1$ なので、

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4}}{2}$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$

(2) 2次方程式 $x^2 + 4x + m = 0$ が異なる2つの実数解をもつための条件を求める。判別式 $D$ が $D > 0$ である必要がある。判別式は $D = b^2 - 4ac$ である。この問題では $a = 1$, $b = 4$, $c = m$ なので、

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot m > 0$

$16 - 4m > 0$

$16 > 4m$

$4 > m$

したがって、$m < 4$ である。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$

(2) $m < 4$